指定された初項と公比と範囲から等比数列の和を計算します。

初項と公比と計算したい数列の範囲を入力し「等比数列の和を計算」ボタンをクリックすると、指定された範囲の等比数列の和を計算して表示します。

また、等比数列の和を求める計算方法も表示します。

初項と公比は15桁まで、n番目の数は10,000までで入力してください。

等比数列とは、隣り合うそれぞれの項の比が等しい数列のことです。

数列の初めの項を初項といい、それぞれの隣り合う項の比を公比といいます。

例えば、以下のような数列は初項が1で公比が3の数列になります。

公比が3なので、隣り合う項の比はすべて「1:3」になっています。

初項からn番目までの和

初項からn番目までの和を計算します。

初項をa 公比をrとすると、数列は以下のようになります。

a, ar, ar², ar³ ... arⁿ⁻², arⁿ⁻¹

この数列の初項からn番目までの和をSnとすると、Snは次のように表すことができます。

S_n = a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻² + arⁿ⁻¹

この式の両辺にrを掛けます。

rS_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + arⁿ⁻¹ + arⁿ

この2つの式の左辺と右辺をそれぞれ引き算します。

左辺はS_n − rS_nになり、右辺は途中の部分が全て消えるので、a − arⁿになります。

S_n − rS_n = a − arⁿ

これをSnについて解きます。

S_n(1 − r) = a(1 − rⁿ)

S_n = a(1 − rⁿ)(1 − r)

よって

r = 1のとき、等比数列の数はすべて初項と等しくなるので、以下のようになります。

S_n= a + a + a + ... + a + a = na

よって

n番目からm番目までの和

n番目からm番目までの和を計算する場合も、同様に数列を逆にして両辺を足します。

左辺はrS_m−n − S_m−nになり、右辺は途中の部分が全て消えるので、arⁿ⁻¹ − ar^mになります。

rS_m−n − S_m−n = arⁿ⁻¹ − ar^m

これをS_m−nについて解きます。

S_m−n(1 − r) = a(rⁿ⁻¹ − r^m)

S_m−n= a(rⁿ⁻¹ − r^m)(1 − r)

よって

r = 1のとき、等比数列の数はすべて初項と等しくなるので、以下のようになります。

S_m−n= a + a + a + ... + a + a = (m − n + 1)a

よって