指定された初項と公差と範囲から等差数列の和を計算します。

初項と公差と計算したい数列の範囲を入力し「等差数列の和を計算」ボタンをクリックすると、指定された範囲の等差数列の和を計算して表示します。

また、等差数列の和を求める計算方法も表示します。

初項と公差は15桁まで、n番目の数は15桁までで入力してください。

等差数列とは、隣り合うそれぞれの項の差が等しい数列のことです。

数列の初めの項を初項といい、それぞれの隣り合う項の差を公差といいます。

例えば、以下のような数列は初項が1で公差が2の数列になります。

公差が2なので、隣り合う項の差はすべて2になっています。

初項からn番目までの和

初項からn番目までの和を計算します。

初項をa₁ n番目の数をa_n 公差をdとすると、数列は以下のようになります。

a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d ... a_n−d, a_n

この数列の初項からn番目までの和をSnとすると、Snは次のように表すことができます。

S_n = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + (a₁+3d) + ... + (a_n−d) + a_n

また、この数列の順番を逆にした数列を考えた場合、順番が変わるだけなので合計は同じになります。

よって、Snは以下のようにも表すことができます。

S_n = a_n + (a_n−d) + (a_n−2d) + ... + (a₁+2d) + (a₁+d) + a₁

この2つの式の左辺と右辺をそれぞれ足します。

右辺は足した数はすべて(a₁+a_n)になり、個数がn個で(a₁+a_n) × nと表せるので、2S_n = n(a₁ + a_n)となります。

この式の両辺を2で割ることで、S_n = 12n(a₁ + a_n)となります。

よって

またn番目の数は、a₁ +(n − 1)d なので、a_n = a₁ +(n − 1)dを代入すると、
S_n = 12n(2a₁ +(n − 1)d)となります。

よって

n番目からm番目までの和

n番目からm番目までの和を計算する場合も、同様に数列を逆にして両辺を足します。

右辺は足した数はすべて(a_n+a_m)になり、個数が(m−n+1)個で(a_n+a_m) × (m−n+1)と表せるので、2S_m−n = (m−n+1) × (a_n+a_m)となります。

この式の両辺を2で割ることで、S_m−n = 12(m−n+1)(a_n+a_m)となります。

よって